设A,B是群G的子群, 集合AB={ab|a∈A,b∈B}构成子群的充要条件是对于乘法封闭.
如果B是正规子群, 对于任意ab,cd∈AB,
(ab)(cd)=acc^-1bcd=(ac)(c^-1bcd). 因为B正规, c^-1bc∈B, 所以(ac)∈A, (c^-1bcd)∈B, 可见AB中任意两个元素的乘积仍然属于AB, 封闭性得证, 进而证得AB是子群.
如果B不正规, 就不能保证abcd仍然∈AB.
设A,B是群G的子群, 集合AB={ab|a∈A,b∈B}构成子群的充要条件是对于乘法封闭.
如果B是正规子群, 对于任意ab,cd∈AB,
(ab)(cd)=acc^-1bcd=(ac)(c^-1bcd). 因为B正规, c^-1bc∈B, 所以(ac)∈A, (c^-1bcd)∈B, 可见AB中任意两个元素的乘积仍然属于AB, 封闭性得证, 进而证得AB是子群.
如果B不正规, 就不能保证abcd仍然∈AB.
